Shut = すばやく閉める
Close = しっかりと閉める
例）窓を閉める
Shut the window
＝窓を乱暴に閉める
Close the window
＝窓をきちんと閉めた
なので、close the windowが丁寧な言い方であり、使用すべき文脈です。
例）口を閉じてくれる？
〇Can you close your mouth?
Can you shut your mouth?
shutは乱暴なニュアンスがあるので、この場合「黙ってくれる？」になってしまいます。
7. [動詞] Shut vs Close = 閉める