Shut = すばやく閉める

Close = しっかりと閉める

例）窓を閉める

Shut the window

＝窓を乱暴に閉める

Close the window

＝窓をきちんと閉めた

なので、close the windowが丁寧な言い方であり、使用すべき文脈です。

例）口を閉じてくれる？

〇Can you close your mouth?

Can you shut your mouth?

shutは乱暴なニュアンスがあるので、この場合「黙ってくれる？」になってしまいます。